Consigne: Soit $$f:\begin{align}{\Bbb R}^2\setminus\{(0,0)\}&\longrightarrow{\Bbb R}\\ (x,y)&\longmapsto\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2} }\end{align}$$
Étudier la continuité de \(f\)

\(f\) est continue sur \({\Bbb R}^2\setminus\{(0,0)\}\)
En dehors de \((0,0)\), \(f\) est continue comme somme, produit, quotient avec dénominateur non nul et composition de fonction continue

On commence par chercher la limite de la valeur absolue de \(f\)
Étude en \((0,0)\) : peut-on prolonger \(f\) en \((0,0)\) ?
On cherche \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)\)
$$\begin{align}\lvert f(x,y)\rvert&=\frac{\lvert x\rvert\lvert y\rvert}{\sqrt{x^2+y^2} }\end{align}$$

Utilisation de \(\lvert x\rvert\leqslant\sqrt{x^2+y^2}\)
$$\leqslant\frac{\sqrt{x^2+y^2}\cdot\cancel{\sqrt{x^2+y^2}}}{\cancel{\sqrt{x^2+y^2}}}$$

Le résultat tend vers \(0\)
$$\leqslant\sqrt{x^2+y^2}\underset{(x,y)\to(0,0)}\longrightarrow0$$

Utilisation du théorème des gendarmes pour revenir sur \(f\)
Donc par le théorème des gendarmes, $$\lvert f(x,y)\rvert\underset{(x,y)\to(0,0)}\longrightarrow0$$

Donc, \(f\) est prolongeable par continuité en \((0,0)\)

(Opérations sur les fonctions continues, Racine carrée, Théorème des gendarmes - Théorème de l’encadrement, Valeur absolue)

Consigne: Étudier la continuité de la fonction suivante : $$f(x,y)=\begin{cases}\cfrac{xy^4}{x^4+y^6}&\text{si}\quad(x,y)\neq(0,0)\\ 0&\text{sinon.}&\end{cases}$$

\(f\) est définie et continue \(\forall x,y\in{\Bbb R}^2\setminus\{(0,0)\}\)

On a $$\lim_{t\to0^+}f(t^3,t^2)=\lim_{t\to0^+}\frac1{2t}=+\infty\neq0$$
Donc la fonction n'est pas continue en \((0,0)\)